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猫でも分かる何か

数学の勉強 1/13

数学

[1] ★★☆ f(x)=x^3+px+q=0 と g(x)=x^2-px-q=0 について q \not= 0 かつ f(\alpha)=g(\alpha)=0 かつ g(x) が重解を持つとき p, q の値
[2] ★★☆ 1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n} \geq \frac{2n}{n+1} を数学的帰納法で証明せよ
[3] ★★★ z=\cos\theta+i\sin\theta について \frac{1}{z+1} の実部


少し応用的な知識が必要なので知らない人は知らない
「共通解を持つ」と「重解を持つ」で未知数 \alpha, p, q と数式3個なので連立で解ける


左辺にk+1番目の項を追加した数式（大）右辺にk+1番目の項を追加した数式（中） 最終目的の数式（小） となる
n=k から（大）と（中）は成り立つので（中）と（小）の差を取ることで証明する


r=1 のとき \frac{1}{z}=\overline{z}
一般的な複素数の場合は \frac{1}{z}=\frac{1}{r}\{\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\}