典型数学（微分）

接線の公式

$y-f(t)=f'(t)(x-t)$
y軸に平行な接線 x=a は表せないが二次関数や三次関数のような普通の陽関数はy軸に平行な接線にならない

法線の公式

$y-f(t)=-\frac{1}{f'(t)}(x-t) \ (f'(t)\ne0)$ 　f'(t)=0 のときはy軸に平行になる
法線は単純な陽関数でもy軸に平行になりやすく場合分けが面倒なので $f'(t)(y-f(t))=-(x-t)$ で暗記するテクニックがある（これならy軸に平行な法線も含まれる）

f(x)とg(x)が接する条件1

y座標と接線の傾きが等しいので $f(\alpha)=g(\alpha), f'(\alpha)=g'(\alpha)$
また $f(x)-g(x)=h(x)$ として $h(\alpha)=0, h'(\alpha)=0$ と表記することもある
二次関数と三次関数や三次関数と直線の場合など全て成り立つ

f(x)とg(x)が接する条件2

$f(x)-g(x)=(x-\alpha)(x-\beta)^2$ なら $x=\beta$ で接する
つまり $f(x)-g(x)=h(x)$ とすると $h(x)$ が重解を持つ
具体例　 $y=ax^3+bx^2+cx+d$ と $y=ex$ を考えると連立方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=ex$ を解くことは $f(x)-g(x)=0$ を解くことに等しい　これが重解を持つとき接する

条件1と条件2は同値なので条件1も条件2も同時に成り立つ証明も有名
https://youtu.be/wvEvLVYYsiw
条件1も条件2も頻出で利用価値が高い

接線の本数

接点を $(t,f(t))$ とすると接線は $y-f(t)=f'(t)(x-t)$ になる
ここで例えば (1,2) を通る接線の本数を考える
(1,2) を代入すると $g(t) = 2-f(t)-f'(t)(1-t) = 0$
これがn個の異なる解を持つときn本の接線が引ける（∵ t は接点）
有名なネットミーム https://youtu.be/0b6ElnxpQl0

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