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数学まとめ【軌跡】

本質

同値変形を意識する（が、無理そうなら諦める）同値は元に戻るかどうかで判断すると良い
求めたい軌跡の座標を (X,Y) としたとき X,Y 以外の文字をパラメータ（媒介変数）と言う
パラメータ = F(X,Y) のように式変形して代入することで (X,Y) だけの式を作ることを目標にする
パラメータを消去するとき必ず定義域・存在条件に注意する（特に標準以上では必須）
同値変形で除外した値は場合分けして処理する
参考1: https://youtu.be/B0UbttZHAEo
参考2: https://youtu.be/tPdCHUqpuy0
参考3: https://examist.jp/mathematics/class/doutihenkei/

[基礎1] O(0,0) A(3,0) からの距離が 2:1 であるような点Pの軌跡

パラメータがないので同値変形するだけで良い
根号の同値条件：二乗するときは数式が正でないといけない（ただし、今回は正なので条件不要）

[基礎2] (0,5) を通りx軸に接する円の中心の軌跡

パラメータがないので公式そのまま書くだけで良い
座標を代入すると x,y が消えて X,Y だけが残る

[基礎3] $mx-y=0$ と $x+my-2m-2=0$ の交点の軌跡

分数の同値条件：分母がゼロ以外（なので、分母がゼロで場合分けする）

[基礎4] $x=|t|+2, y=t^2$ のとき P(x,y) の軌跡

二乗の同値条件：左辺が正なので右辺も正

[基礎5] $x=\cos{t}-1, y=\sin{t}+1, 0^\circ \le t \le 90^\circ$ のとき P(x,y) の軌跡

パラメータ消去時に定義域に注意
隠れた条件：三角関数の基本公式を使う

[基礎6] $y=x^2-2x+1$ と $y=mx$ が異なる2点で交わるとき、その中点Mの軌跡

[基礎3]と同様に分数の同値条件で場合分け
異なる2点で交わるので判別式>0で良い

[標準1] 原点と異なる $x+2y=1$ 上の P(x,y) に対して $Q(\frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2})$ を対応させたときの点Qの軌跡

反転と呼ばれている有名な軌跡で問題文から $OP \cdot OQ = k$ の数式を与えられることも多い
途中から同値変形を諦め（ぇ　Qを比例式と見なして式全体を加算する定石を使う
ただし、単なる加算だと $x+y$ が残ってしまうので二乗を加算する
Pは原点と異なるので分母がゼロの場合分けは不要

[標準2] 実数 a,b について P(a,b) が $x^2+y^2=1$ 上を動くときの (a+b, ab) の軌跡

対称式の同値条件：二次方程式の判別式
（実数の）和と積は無限に組み合わせがあるように見えて実は成立しない組み合わせが無限にある