基礎典型数学メモ（二次曲線）

放物線 (425)

$y^2=4x$ と焦点を共有し、頂点がこの曲線上にあって軸がy軸に平行な放物線を求めよ。

明らかに重要な典型問題なのに意外と参考書には載ってない。
原点中心で計算してから平行移動して求める典型テクを使う。
$y^2=4px$ を平行移動する→ $(y-a)²=4p(x-b)$ は真、焦点がpになるように放物線を平行移動する→ $(y-a)²=4p(x-b)$ は偽、の暗記が本質。

放物線の等角 (300)

$y^2=4px (p>0)$ の焦点をF、放物線上の任意の点を $P(x_0,y_0)$ とする。
(1) Pにおける接線が $y_0 y=2p(x+x_0)$ であることを示せ。
(2) Pにおける接線とFPのなす角が接線とx軸のなす角に等しいことを示せ。

やるだけ。
放物線の接線の公式は暗記しづらいので、自力で毎回導出したほうがコスパ良い可能性がある。
この性質はパラボラアンテナに応用されている https://manabitimes.jp/math/1000

楕円の等角 (反射定理) (425)

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)$ の焦点を $F(c,0),F'(-c,0), c=\sqrt{a^2-b^2}$ とする。
また、楕円上の任意の点を $P(a\cos\theta,b\sin\theta)$ とする。
(1) $FP=a-c\cos\theta, F'P=a+c\cos\theta$ であることを示せ。
(2) FP,F'PはPにおける接線と等角をなすことを示せ。