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猫でも分かる何か

数学の勉強 1/8 （解答）

例1
(x^3+1)^4 における x^9 の係数は 4 で x^6 の係数は 6 であり (x^3+x-1)^3 における x^5 の係数は 3 で x^2 の係数は -3 である。
また (x^3+1)^4(x^3+x-1)^3 における x^{11} の係数は 6 である。
例2
(1) 商 x^2+4x+8-a 余り (21-7a)x+a^2-8a+15
(2) a = 3
(3) b = c = 2
例3
(1) \frac{1}{2} または -1
(2) \frac{2}{11}
例4
(1) pf(x_1)+qf(x_2)-f(px_1+qx_2)=pq(x_1-x_2)^2 \geq 0 等号が成立するのは x_1=x_2 のとき
(2) (左辺) = 2\{\frac{1}{2}(a+\frac{1}{a})^2+\frac{1}{2}(b+\frac{1}{b})^2\} = \frac{1}{2}\{1+a\cdot f(\frac{1}{a})+b\cdot f(\frac{1}{b})\}^2 \geq \frac{1}{2}\{1+f(a\cdot\frac{1}{a}+b\cdot\frac{1}{b})\}^2=\frac{1}{2}(1+2^2)^2=\frac{25}{2}
例5
(1) f(0) = 3, f(1) = 6, f(-1) = 2
(2) 2次式
(3) f(x) = x^2+2x+3
例6
(1) 0
(2) -1
(3) -(ab+bc+ca)
例7
(1) a = 2, b = -1
(2) a = 1, b = 3, c = -1
例8
(1) 13
(2-1) _nC_r=\frac{n!}{r!(n-r)!} より r\cdot_nC_r=r\cdot\frac{n!}{r!(n-r)!}=n\cdot\frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!}=n\cdot_{n-1}C_{r-1}
(2-2) (1) より n = p とすると r\cdot_pC_r=p\cdot_{p-1}C_{r-1} また p は素数で r は r < p を満たす整数なので r と p は互いに素であり _pC_r は p で割り切れる
(2-3) x = 1 のとき (1+1)^p=_pC_0+_pC_1\cdot1^1+...+_pC_{p-1}\cdot1^{p-1}+_pC_p\cdot1^p=_pC_1+_pC_2+...+_pC_{p-1}+2
(2-2) より _pC_1, _pC_2, ..., _pC_{p-1} は全て p で割り切れる整数であり 2^p=p\times(整数)+2 なので 2^p を p で割った余りは 2
(2-4) x = 2 のとき 3^p=(2+1)^p=_pC_0+_pC_1\cdot2^1+...+_pC_{p-1}\cdot2^{p-1}+_pC_p\cdot2^p=2\cdot_pC_1+2^2\cdot_pC_2+...+2^{p-1}\cdot_pC_{p-1}+2^p+1
(2-2) より 2_pC_1, 2^{2}_pC_2, ..., 2^{p-1}\ _pC_{p-1} は p で割り切れるので 3^p を p で割った余りは 2^p+1 を p で割った余りと等しい
(2-3) と p \geq 5 より余りは 3
例9
(1) a = 1, b = -24, c = -1, d = 4
(2) a = 7, b = 8, c = 35
例10
(1) -\frac{1}{2}x^2-x+1
(2) a = -3, b = 11