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猫でも分かる何か

数学の勉強 1/8 （問題）

数学

【配信】
https://www.twitch.tv/videos/1701340636


【問題】（例3は印刷ミス）
例1
(x^3+1)^4 における x^9 の係数は＿で x^6 の係数は＿であり (x^3+x-1)^3 における x^5 の係数は＿で x^2 の係数は＿である。
また (x^3+1)^4(x^3+x-1)^3 における x^{11} の係数は＿である。
例2
F=x^4+x^3-4x^2-3x+15 と G=x^2-3x+a (a \in \mathbb{R}) について
(1) F を G で割ったときの商と余りを求めよ
(2) b \in \mathbb{R} について F を (x+b)G で割った時の余りが G のとき a の値を求めよ
(3) (2) における b の値を求めよ
例3
(1) \frac{a+1}{b+c+2}=\frac{b+1}{c+a+2}=\frac{c+1}{a+b+2} のとき、この式の値
(2) \frac{x+y}{6}=\frac{y+z}{7}=\frac{z+x}{8} \not=0 のとき \frac{x^2-y^2}{x^2+xy+yz-y^2} の値
例4
(1) p>0, q>0, p+q=1 のとき f(x)=x^2 について次の不等式が成り立つことを示せ
f(px_1+qx_2) \leq pf(x_1)+qf(x_2)
(2) a>0, b>0, a+b=1 のとき (1) を用いて次の不等式が成り立つことを示せ
(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2 \geq \frac{25}{2}
例5
f(x) が x についての恒等式 xf(x^2-1)-5f(x)=(x^3+1)f(x-1)-2(x-1)f(x+1)-4x-29 を満たすとき次の問に答えよ
(1) f(0), f(1), f(-1) の値を求めよ
(2) f(x) の次数を求めよ
(3) f(x) を求めよ
例6
次の式を簡単にせよ
(1) \frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(b-c)(c-a)}+\frac{1}{(c-a)(a-b)}
(2) \frac{ca}{(a-b)(b-c)}+\frac{ab}{(b-c)(c-a)}+\frac{bc}{(c-a)(a-b)}
(3) \frac{c^2a^2}{(a-b)(b-c)}+\frac{a^2b^2}{(b-c)(c-a)}+\frac{b^2c^2}{(c-a)(a-b)}
例7
(1) \frac{a}{x-2}+\frac{b}{x-1}=\frac{x}{(x-2)(x-1)} が x についての恒等式であるとき定数 a と b の値
(2) 恒等式 \frac{2x+1}{x(x-1)^2}=\frac{a}{x}+\frac{b}{(x-1)^2}+\frac{c}{(x-1)} を満たす定数 a, b, c の値
例8
(1) 13^{13} を144で割ったときの余りを求めよ
(2) 次の問に答えよ
(2-1) 整数 n, r が n \geq 2, 1 \leq r \leq n を満たすとき r \cdot _nC_r=n \cdot _{n-1}C_{r-1} が成り立つことを示せ
(2-2) 素数 p について整数 r が 1 \leq r \leq p-1 を満たすとき _pC_r が p で割り切れることを示せ
(2-3) 3以上の素数 p について (x+1)^p=_pC_0+_pC_1x^1+...+_pC_{p-1}x^{p-1}+_pC_px^p を利用して 2^p を p で割った余りが2になることを示せ
(2-4) 5以上の素数 p について 3^p を p で割った余りを求めよ
例9
(1) 次の式の両辺は実数を係数とする x の整式として等しい
x^4+6x^3+ax^2+bx+16=(x+c)^2 (x+d)^2 ( c < d)
このときの a, b, c, d の値
(2) 3次式 (x-2)^3+a(x-4)^2+b(x-6)-c=x^3+x^2-36x+21 が x についての恒等式となるとき定数 a, b, c の値
例10
(1) 整式 P(x) を (x+2)^2 で割ると余りが x+3 であり x+4 で割ると余りが -3 であるとき P(x) を (x+2)^2(x+4) で割った余りを求めよ
(2) 整式 x^4+ax^3+ax^2+bx-6 が整式 x^2-2x+1 で割り切れるとき a, b の値を求めよ

【解答】
https://9871225.hatenablog.com/entry/2023/01/08/042009