数学の勉強 1/7

[1] ★☆☆ $k(x^2+x+1)>x+1(k\not=0)$ を満たす実数 x が存在するときの k の範囲
[2] ★★☆ 平行でない直線 n 本で囲まれる多角形の個数 $a_n$ の一般項
[3] ★★☆ $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{C}, |\alpha|=|\beta|=1, \arg \frac{\beta}{\alpha}=\frac{2}{3}\pi, \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} \in \mathbb{R}, 0<\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}\leq1$ について $\gamma$ の軌跡

やるだけやな

多角形領域と多角形でない領域に場合分けして考えると見通しが立ちやすいと思われる
図の領域Aより多角形領域を新たに直線が通過するとき多角形は1から2に増えると分かる
図の領域Aより多角形でない領域を新たに直線が通過するとき多角形は0から1に増えると分かる
ただし図の領域Bよりスタート地点とゴール地点は多角形が増えない
また $2 \leq n$ でしか成立しないように見えて $1 \leq n$ でも成立している
なお、多角形でなく単純な領域数の漸化式 $a_{n+1}=a_{n}+n$ も常識知識として有名（これは既にある領域を左右に分割すると考えると自明になる）